El concepto de infinito y los conjuntos infinitos han generado durante siglos, verdaderos dolores de cabeza a matemáticos de todo el mundo, creando grandes debates y conflictos teóricos de diversos tipos y dando lugar también a sueños y fantasías fascinantes.

Comenzaré con un ejemplo muy sencillo de lógica, pensemos en el conjunto de naranjas y el conjunto de cítricos, claramente todas las naranjas son cítricos, pero hay otros cítricos como el limón que no esta en el conjunto de las naranjas, de manera que fácilmente podemos convencernos que el conjunto de los cítricos es más grande que el conjunto de las naranjas.  El problema con los conjuntos infinitos, a diferencia de los conjuntos finitos es que nuestra intuición y lógica nos pueden jugar algunos trucos extraños.

El conjunto infinito más sencillo, es el conjunto de los números naturales y que consiste simplemente de los números 1,2,3,4,5,….  éste conjunto a diferencia del de los cítricos y naranjas, es un conjunto infinito que contiene el conjunto de los números pares como el 2,4,6,8,…  y que es infinito también, sin embargo ambos tienen el mismo tamaño. ¿Cómo?

El siguiente cuento matemático resuelve este enigma. En un lugar imaginario, quien sabe donde, el inmenso Hotel Aleph  tiene una infinidad de habitaciones y se sienten muy orgullosos de garantizar por escrito el poder dar hospedaje a cualquier número de personas en cualquier momento. Las habitaciones de este hotel se encuentran numeradas desde la habitación uno, seguida de la dos, tres etc. Resulta, que en un verano, este hotel se encuentra completamente lleno, sin embargo, un congreso muy importante de médicos llega de pronto y sin previo aviso, solicitando varios millones de habitaciones. El Gerente del Hotel sabiendo su situación se sintió algo agobiado, pero después de pensar un poco solucionó su problema de la siguiente manera, le pidió a cada huésped que se mudara a la habitación cuyo número fuera el doble del número de la habitación que tenia, así por ejemplo el huésped de la habitación uno se movería a la habitación dos, el de la dos a la cuatro, el de la tres a la seis, etc. Así todas las habitaciones impares quedaron desocupadas dando amplio espacio para acomodar a todos los médicos del congreso y muchos más.  Si meditamos este asunto, en realidad el gerente del hotel comprueba que a todo número natural se le puede asignar un número par y viceversa, a cada número par, si se le divide por dos, le podemos asignar un número natural.

El rompecabezas de los infinitos no termina aquí, pensemos en otro conjunto infinito que conocemos más o menos durante la educación primaria y que nos complica las cuentas el resto de nuestra vida, las fracciones, quebrados o también conocidos como números racionales, números que se pueden escribir como la división de dos números naturales por ejemplo, 1/2, 3/4, 1/8 etc. Estos números tienen una peculiaridad muy interesante, si usted digita en una calculadora el número 1/3 esta le arrojará la expresión decimal 0.33333….  a sí mismo, si digita el número 2/7 obtiene 0.28714287142….. Curiosamente todos estos números tienen un patrón de repetición, es decir, después del punto decimal todos tienen una secuencia, puros ceros si es exacto, o una sucesión muy corta y finita, corta e infinita, muy larga, muy complicada pero siempre con un patrón. En particular los números naturales son de este tipo pues todos se pueden escribir como 1/1, 2/1, 3/1,… etc. cuya expresión decimal es de puros ceros. Resulta aún más interesante, que los números naturales y los racionales tienen una diferencia importante entre ellos, que se conoce como la densidad, concepto sencillo pero que tiene consecuencias muy profundas. Dado un número natural podemos dar, sin lugar a dudas, el número natural inmediato posterior o anterior, sin embargo para el caso de los racionales esto no es posible, ¿como saber cual número racional sigue inmediatamente después del 1/3? De echo, entre cualesquiera dos números racionales, siempre existirá un número infinito de racionales. Pensar un poco este simple asunto, provoca cierto vértigo, pues da la impresión que la densidad genera infinitos “de distintos tamaños”. El famoso matemático Cantor a mediados del siglo pasado, se preguntó entonces si los racionales serían más grandes que los naturales, ambos como conjuntos infinitos, concluyendo con una demostración más elaborada que la del hotel Aleph, la siguiente paradoja que puede dejar perplejo a cualquiera, los “quebrados” ,“fracciones”, o racionales son exactamente igual de infinitos que los naturales.

Así, los números naturales, los pares y los racionales son todos del mismo “tamaño”. Cantor llamo a estos conjunto numerables y denomino a su “tamaño” como aleph-cero. Después de esta observación Cantor siguió investigando las “medidas” de los conjuntos infinitos, y se preguntó si existirían conjuntos infinitos más grandes que otros, el siguiente paso, consistía en “contar” aquellos que contienen a los racionales (naturales, pares, y fracciones) así como también todos aquellos cuya expresión decimal no tiene ningún patrón, como raíz de dos, raíz de cinco, el famoso número pi, etc. Números que no importa que tan buena computadora se utilicé pues estos no son de la forma de un número natural, dividido entre otro. Este conjunto, se llama el conjunto de los números reales y como contiene a todos los racionales también es infinito y al igual que los racionales es también denso. Sin embargo este conjunto ya no es numerable, es decir este infinito es mas “grande” , por ejemplo, que el del número de cuartos del hotel Aleph.

En este momento Cantor introduce al mundo una de las ideas más revolucionarias en la historia de las matemáticas, no solo el hecho de que existan infinitos de distintos tamaños, si no también, creando números más grandes que todo aquello que puede ser concebido en el Universo.  ¿Fascinante, no?, hasta donde sé, Jorge Luis Borges, seducido también por las paradojas del infinito, tituló su cuento el Aleph en homenaje a Georg Cantor.