Un mundo con simetría

Dra. Deborah Oliveros Braniff

El famoso escultor griego Polykleitos, considerado uno de los escultores más importantes de la antigüedad clásica, fue famoso por llevar a la perfección la idea de proporción y armonía. En su libro Proporción, utilizó la palabra simetría, dando por hecho que la belleza está íntimamente relacionada con esta palabra. Por otro lado, debido a su completa simetría rotacional, el círculo en el plano, la esfera en el espacio, fueron considerados por los Pitagóricos las figuras más perfectas, tanto que Aristóteles clasificó a la esfera como un cuerpo celestial.

Pero, ¿qué es la simetría? De acuerdo con el diccionario, “la simetría es la correspondencia exacta, entre tamaño, forma o posición de las partes de un todo.” Comúnmente, la palabra simetría es utilizada con un significado de bien balanceado o bien proporcionado.

Todo parece indicar que la naturaleza es, en muchos aspectos, aficionada a la simetría: ¿te has preguntado por qué las abejas construyen sus panales siguiendo patrones hexagonales?, ¿por qué los cristales y muchas otras estructuras siguen ciertos cánones de simetría?

Seguramente, alguna ves te has asomado y maravillado con un caleidoscopio, objeto que consiste en tres espejos rectangulares del mismo tamaño que forman un prisma triangular equilátero, de tal manera, que al observar por un extremo de él, la figura plana del otro lado se ve reflejada y se reproduce dando la impresión de ver un plano infinito (una teselación o un mosaico triangular).

Las figuras geométricas con grandes simetrías han motivado al hombre a pensar en ellas no sólo desde un sentido artístico debido a su belleza, sino también en un sentido matemático. Las formas matemáticas que poseen más simetrías han emergido poco a poco en la historia, por ejemplo, el cubo y el dodecaedro en forma de dado han sido utilizados desde los etruscos 500 años a.C. y se sabe que los egipcios conocían también el tetraedro regular y el octaedro. Además, existen muchos intentos para explicar el porqué las pirámides tienen la forma que tienen, en particular, la razón que guarda la altura con la base siendo aproximadamente el mismo número.

El descubrimiento de los cinco sólidos platónicos se le atribuye a Pitágoras, así como el descubrimiento de que un punto en el plano esta rodeado exactamente por tres hexágonos regulares, cuatro cuadrados o por seis triángulos equiláteros, lo que da lugar a la existencia de solo tres posibles mosaicos regulares o tescelasiones regulares del plano.

Todo parece indicar que los griegos fueron los primeros en concebir la matemáticas como lo hacemos hoy en día. El libro de Euclides, Los Elementos es, sin lugar a dudas, el libro realmente matemático más antiguo que existe; en él se dan las bases de la geometría permaneciendo básicamente sin cambios hasta principios del siglo XX y donde por primera vez se discute a profundidad y se demuestra la unicidad de los cinco sólidos platónicos.

Es sabido que gracias a la traducción de Los Elementos hecha por los árabes, éste libro sobrevivió la etapa del medievo y, más tarde, gracias a sus grandes conocimientos empíricos de simetría, los árabes ejemplificaron 17 patrones distintos de mosaicos en sus bellísimos edificios como en La Alhambra, en España. Estos 17 patrones son conocidos hoy en día como grupos cristalográficos, nombre que proviene del hecho que los cristales en la naturaleza se reproducen respetando ciertos patrones. Los químicos en el siglo XIX estudiaron estas leyes de simetría y obtuvieron nuevamente estas 17 estructuras pero fue hasta el siglo XX, que los matemáticos pudieron demostrar que sólo esos patrones pueden existir y ni uno más.

En otras palabras, dado un diseño específico, sólo puedo escoger 17 maneras de decorar el piso de la cocina de mi casa y, si sólo hay tres posibles mosaicos regulares en el plano ¿por qué las abejas escogen el hexagonal? Resulta que de entre esos tres posibles, el hexágono es el que tiene más área y además menor perímetro por lo tanto, puede acumular más miel y requiere menos parafina.

¿Qué más?, ¿será que la simetría rige algunas otras estructuras en el mundo?, ¿será que bajo otras reglas, por ejemplo en el cosmos, en el universo, o en otros posibles universos se puedan encontrar otros patrones y otras estructuras? Estas son precisamente las preguntas que muchos matemáticos enamorados de las simetrías tratan de explicarse.

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