Cálculo fraccionario y complejidad

Dr. Guillermo Ramírez Santiago

Observaciones experimentales sugieren que hay una amplia variedad de fenómenos físicos, biológicos y sociales que no se pueden cuantificar usando las funciones analíticas clásicas del cálculo diferencial e integral. Estas funciones no capturan la dinámica de fenómenos complejos tales como sismos y huracanes; fenómenos sociales de la vida diaria tales como el “consenso de un grupo de personas”; colapsos de los mercados financieros, redes sociales, redes de salud, o la actividad de la cognición y la habituación.

 

La complejidad inherente de estos fenómenos esta más allá del alcance del análisis matemático del siglo XIX en el que se fundamentan la Física e Ingeniería. La comprensión de los fenómenos complejos requiere de una nueva forma de modelado y en consecuencia,  la introducción de formas más innovadoras de pensamiento abstracto.

Los fenómenos que requieren de la noción de derivadas e integrales fraccionarias (no enteras) se consideraban hasta hace unas décadas curiosidades académicas. No obstante, el desarrollo de herramientas experimentales mas precisas y sensibles, y de técnicas mejoradas de procesamiento de datos así como de capacidades computacionales cada vez mayores, han contribuido al desarrollo de la ciencia de una manera tal que los fenómenos que se consideraban  poco importantes ahora están en el centro del escenario científico. Estas curiosidades se describen ahora como fenómenos de escalamiento exóticos que para entenderlos y comprenderlos se requiere del desarrollo de una nueva perspectiva matemática, como es el cálculo fraccional.

Una estrategia diferente en apariencia para analizar estos fenómenos complejos lo constituye la dinámica de las redes que se considera una ciencia emergente. La complejidad puede describirse en términos de la topología que relaciona las formas en las que los elementos de una red están interconectados con una distribución libre de escalas espaciales y una cronología que relaciona el tiempo de los eventos significativos dentro de la dinámica de red.

La topología del escalamiento de las redes ha sido ampliamente adoptada por la comunidad científica como una medida de la complejidad de los fenómenos, mientras que la complejidad temporal se ha identificado muy recientemente como una medida importante de la dinámica de redes complejas. Se ha encontrado que el escalamiento que se obtiene al estudiar numéricamente la dinámica de las propiedades de grandes redes complejas encaja muy bien  con el cálculo fraccional.

Específicamente, la complejidad de la dinámica no lineal de los fenómenos nos exige extender nuevos horizontes mas allá de las funciones analíticas y su análisis sugiere que las funciones de interés no están definidas por ecuaciones clásicas de movimiento. Para explorar esta falta de ecuaciones de movimiento clásicas se introduce el concepto de fraccionalidad. Entre los momentos de orden entero, tales como la media y la varianza, hay momentos fraccionarios que es necesario introducir cuando los momentos enteros no convergen. Es decir, entre las dimensiones enteras están las dimensiones fractales (fraccionarias) que aparecen cuando los datos no presentan una escala de longitud característica; y entre los operadores con valores enteros que son locales en el espacio y en el tiempo están los operadores fraccionarios (no enteros) que son necesarios para describir la dinámica que se caracteriza por tener una memoria de largo tiempo y una heterogeneidad espacial. Así pues, los fenómenos complejos requieren de nuevas formas de pensamiento abstracto, y el cálculo fraccionario ofrece un marco de referencia para describir y entender los fenómenos complejos.

Muchos de los fenómenos complejos que han requerido a menudo de explicaciones tortuosas utilizando métodos analíticos tradicionales se han podido describir en una forma mas simple y natural utilizando el cálculo fraccional. En este punto podríamos considerar que un fenómeno o estructura se considera compleja si las funciones analíticas tradicionales no pueden describir sus propiedades espaciales y/o temporales.

La primera aplicación científica del cálculo fraccional facilitó la comprensión de la dinámica de los materiales visco-elásticos. Las ecuaciones de movimiento para estos materiales no corresponden a la dinámica analítica y/o a la dinámica de fluidos tradicionales debido a que las propiedades de los materiales no son las  de un sólido ni las de un líquido. Históricamente las ecuaciones visco elásticas de movimiento tienen una forma integro-diferencial y se ha demostrado que se pueden reinterpretar en términos del cálculo fraccionario. Para entender la razón de esta equivalencia es necesario revisar la noción de dimensión espacial.

Hace más de dos milenios Euclides organizó la comprensión de la estructura del mundo físico en términos de la geometría clásica, que define la métrica de puntos, líneas, planos y otras superficies. Dos milenios después, en 1977,  Mandelbrot señalo que muchos de los fenómenos físicos violan los supuestos subyacentes de la geometría Euclidiana. Mandelbrot introdujo el concepto de dimensión fractal (no entera) con el que se procedió a catalogar muchos fenómenos complejos físicos, sociales y biológicos que requieren ser descritos mediante geometría fractal, estadísticas fractales y cálculo fraccional.

Con el paso del tiempo este concepto de dimensión se ha estudiado más a profundidad. En la Unidad Académica del Instituto de Matemáticas de la UNAM se estudian áreas de las matemáticas que también ayudan a la comprensión de fenómenos naturales como el estudio del clima y de las fracturas en rocas. 

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